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计算美学

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毛向辉专栏:分创意 | 普世之美?

毛向辉 | 文

最近本人最大的困惑就是究竟是否有“普世之美”,也就是是否存在有让全世界人有同感的艺术之美。我过去对此颇有信心,因为好像人性中所追求的当然是共同的价值,所以美和丑自然容易区分,放之四海皆准吧。但是眼下这个观点在我心中已经动摇,甚至变得有点诡异,也许有必要重新认识,包括自己。这种惶恐感觉如同人的中年危机,让人不知所措。

基本上所有的人类对噪音和无序(Disorder)是有共识的,因为那里面包含了杂乱随机的事件。但是混乱的相反面有两种理解,一种是信息秩序(Order)和无序是一样的,信息有序包含了有意义的事物,但是也是不可以预测的;另一种可以叫做整齐,也就是虽然看上去不杂乱,但是基本上可以从前面的排列预测到后面(例如,010101......)。整齐的方式不是无序,可是信息量却非常少,很难用它来形容事物,因为信息太贫乏。而如果是信息秩序,则至少会有含义,或者可以解决某种问题,所以包含足够复杂的信息量。越复杂,我们说信息熵(Information Entropy)就越高。这个概念来自与香农(Shannon)的信息论,信息熵的多少和美有很大关系,当我们看崇山峻岭、彩云追月的时候,我们感受到美,山、水、云、月有他们的复杂度,被我们头脑的复杂度所共鸣,所以美感可以油然而生。同样当艺术家创作时,他们的积累转变为作品所包含的信息熵决定了其美感。早在20世纪30年代,由著名数学家伯克霍夫(G.D.Birkhoff)所提出的美学标准(Aesthetic Messure)就奠定了计算美学的理论基础。那个著名的美学标准公式:M=O/C(信息秩序/复杂度),已经成为人类共识,当然如何度量比较艺术之美,是此后30年信息论逐步成熟后才浮现真正的实用量化价值。

可是我所迷惑的是,整齐美和信息美哪一个更重要,或者现代社会如何定义真正的美。对于前工业时代来说,整齐美有过短暂的黄金时代。因为人们被可以批量生产的工业产品所震撼。甚至把楼层和汽车不断叠加在一起到一个巨大的尺度,都认为是种美。不过正如工业时代可以制造出大量整体的画笔和颜料盒,却无法生产出每幅都不同的画作。所以画笔和画作是完全不同的层次。因为各个人类社群不可能生活在同一个历史阶段,某些国家的社会结构已经接近后现代的模式,而另一些国家则还完全是混合了封建社会、资本社会与信息社会的混杂体系。这就出现一个悖论,伯克霍夫的美学公式中,大家采用相同的分子或者分母,都会有普适的共识,例如对比两个作品(电影、绘画、庆典活动等),如果放在同一个观众体系,他们复杂度(C)是一样的,那么其中的信息秩序(O)就应当是足够大才能够产生可以比拟的美感;而其中一个信息熵过低,则不可能比拟。但是不要忘记,如果复杂度本来就很低,那么信息量即使很低,也可能同样觉得美。例如,儿童的选择性比较简单,所以他们可以很容易就对信息量很小的色图案产生愉悦感。可是如果对一个有足够见识和自由思维的成人来说,他对复杂度的要求足够大,那么简单的信息熵作品就难以产生共同的美感了。一些在信息复杂度很低的时代所共有的低信息熵作品,例如工业时代的整齐美,一定不可能再符合新的复杂度分母了。

现在的矛盾是,今天的时代,无论在全球各地,已经有足够的多样性选择,所以复杂度(C)足够大,伯克霍夫公式的分母已经公认地增加了很多倍,为什么还有人强加整齐美标准给人们呢?强加的整齐美,必然是很低的信息秩序(O),因为是失去多样性,个体成为一致的工业产品。这种美学在20世纪早期的法西斯时代有很强大的支撑,典型的案例就是为纳粹服务的导演李芬施塔,她利用柏林奥运会的开幕式把法西斯美学发挥到了极致,让每个人都成为了节奏和规模的牺牲品。在当时的宣传机器的影响下人们没有选择的复杂度(C),当今能够和李芬施塔作品相媲美的恐怕只有朝鲜的《阿里郎》了,只不过在《阿里郎》中,连导演的名字都无法呈现。这一点来看,张艺谋导演算是非常幸运了。
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建筑与比例科学

                     —— 张健虹

本文讲述了我早先对勒·柯布西耶《模度》一书的迷恋及随之丧失了对比例理论的信念,直到后来一系例令人愉快的事情使我接触到拉恩和他的著作,才又使我感受到了对建筑比例的科学兴趣,而且本文的论述几乎都是拉恩本人的比例理论——塑性数。所以本文的写作出于如下两个方面的观点:一方面,一个20世纪的建筑师,如勒·柯布西耶,仍然可能这么写:“自然是由数学所支配的,艺术杰作……体现另外自然的规律,它们源于这些规律”。另一方面,人们同样可以证明度量法是经验的建构,它们不是来自于自然,而是我们加于自然的东西。依靠计算来工作的工程师使用几何的形式,他们用几何满足我的眼,用数学满足我们的心,他们的作品正走在通向伟大艺术的道路上。

一.   范·德·拉恩对基本原则的阐释

范·德·拉恩在他的《塑性数》(1960年)一书中,尽力直截了当地处理维特鲁威术语的令人困惑的晦涩性。他认为,这并非是由于作者的困惑或无知导致的,而是由于我们有关建筑比例之观念的不严谨和不精确所导致:

现今,人们对配置,对称性,节奏等词语几乎不加区别,用它们来表达一种从古代世界传承到我们的一种模糊而又粗糙的比例概念。然而,可以肯定的是,对古代人而言,这些术语所指的是明确而又有明显区别的概念。

对范·德·拉恩而言,建筑比例的目的当然是美学的,但这必得在原初意义上理解“美学的”这一词。“美学的”一词源于“aesthetikos”,即感知。“美”在希腊语中是“kaolles”.事实上,“美”一词以未出现在范·德·拉恩的作品中。在他看来,建筑学,尤其是建筑的比例,其功用并非仅仅在于悦目,而在与使我们从身心上在世界存活下去。呈现于我们面前的自然界并非一个有限,可度量的,因而也是可理解的宇宙,而是一个不可测度的连续性,可以说,我们于其中发现了我们自身,这种自身来自“我们的深层”。虽然建筑物作为栖身之处,有助于我们的身体在自然界的幸存(这就是我们首先要去建房的原因)。但它们还要为更高的存在性需求的满足提供了机会(并且要求这种满足),去感知和认识世界,并且通过测量使它为我们所有,大体而言,这不是运用某种随意的单位(如米)测量空间的问题。而是将空间的一个特定部分转变成一个可度量的整体的问题。尺度之间的比例使得建筑物的面积之间,建筑物与它们的空间之间的关系一目了然,以及最终使得构造见和自然空间的关系一目了然。同样,通过声音之间有规律的关系,音乐对时间之一部分作了度量——例如,这是一种完全不同于时钟所提供的度量。

二. 秩序和复杂性

美国数学家乔治·D·伯柯霍夫(George D.Birkhoff,1884-1944年)在其著作《美学标准》中,将秩序和复杂性视为对立物。他的理论要旨内容含于M=O/C这个公式中:也就是说,(美学)标准等于秩序与复杂性之比。他认为,一个二维物体的执行和复杂性是能够加以精确计算的——就它的,秩序而言,可通过决定垂直或者旋转的对称性程度以及垂直度等来计算;就它的复杂性而言,可通过计算勾画其轮廓所需要的直线数来计算——对如下物体的美学价值进行量化是可能的:即所有具有几何确定性的物体。在伯克霍夫价值顺序的顶端,是正方形和网格。在此背景下,我将论证,清楚复杂性会导致混乱,甚至是无序。自相矛盾的是,千篇一律——个别元素的反复出现,例如,具有标准尺寸的未变形的方形面板的网格——是秩序的对立面。具有绝对统一且不存在复杂性的地方,如一张白纸或者真空中,不存在能将秩序加之于其上的物体。最简派艺术家如唐纳德·贾德 (Donald Judd)和阿格尼丝·马丁(Agnes Martin)等人作品正好基于这个原理之上。

相反,没有秩序得到的不是复杂性,而是混乱,正好像秩序需要复杂性以彰显自己一样,复杂性需要秩序以变得可以理解。为了在一个危险的环境中进行解释和幸存,每一种有机体都具有一种内在的“渴望”

因而,正如冈布里奇所写,快存在于:

混乱和厌倦之间的某处,如果单调使得参与变得困难,那么过多的新奇物会使理论不堪负荷,并且促使我们放弃,我们并不想去分析碎石路。

三.   勒·柯布西耶——模数

  具我所知,勒·柯布西耶(1887-1965年)并没有读过到目前为止提到的那些书,但他作为拉绍德封艺术学院(the School of Art in La Chavx-de-Fonds)查尔斯·勒普拉特尼耶的一名学生,所处的思想氛围里渗透着这些观念。他差不多在《模度》的开始部分说道:

  从1900到1907年,他跟一位卓越的大师研究自然,他在远离城市的地方——High Tura 山区——观察自然现象,目的是通过对植物,动物和变幻的蓝天的直接研究,更新装饰性的自然环境。自然是秩序和法则,是没有目的的统一性和多样性,是微妙的和谐的和强有力的,这是他在15到20岁之间学到的东西。

  在《走向科学建筑》(1923)中,他将他的构图建立在规范性线条(traces regulateurs)之上。这些“规范性线条”是建筑物正面(仅仅是这一段的各种立面,而不是各种平面图),重要的矩形部分的对角线,这些线条通过平行或垂直相交,揭示了整体构图,中一种或几种形状的反复出现。因此,这一构图由相似矩形的几何学决定,首选的图形是两边之比为黄金分割比率的图形。

  勒·柯布西耶在《模度》中写道,自然由数学支配着,艺术同样如此,它必须遵循自然规律。但是在后来他把数学本身描述为“ 由人所构思的庄严的结构,以便承认他对宇宙的理解”。数学是自然规律呢,还是为了便自然变的可以理解,而人所称的移情的完美表达;第二种是抽象的完美表达。我认为,从最基本层面而盐,模数的诸多缺陷起源于勒·柯布西耶未能解决他思想中这两种观点之间的冲突。如果它们想在未来还作用,那么这就取决与那一冲突的解决。

四. 实践中的模数:马塞公寓

值得注意的是,勒·柯布西耶在设计马塞公寓(the united’ Habit ation,1947-1952年)使用于单独的房间,正面各分离的部分以及屋顶的各种小型的上层结构。他暗示着建筑物的整体维度?(140m/56m/24m)在比例结构中不起作用,事实上,它们中没有一个是精确的模数数值。然而,140m与红色模数数值139.01m的差异是难以察觉的(小于1%),因此,就感觉而言,即使没有做出调整,也足以被当作同一个数值。勒·柯布西耶并没有对此加以论述,或许他意识到了安海姆所指出的问题,断定在数值范围中,彼此远离的数值之间的比率——如每一个小房间的宽度(3.66m)与建筑物的总长度(139.01m),比率为1.38或大致是z:¢——不可能被人识别,也不值得加以考虑。

  然而,如果我们将来两个立面图和平面图看成形状,它们最终回非常接近精确的,相对简单的¢比率。构图整个建筑物外形的三种形状大致如下。

(1)正立面图:非常接近一个¢矩形(也即,一个竖立的黄金矩形位于两个正方形之间,比率为2.618:1);

(2)侧视图:一个「5矩形(也即,一个正方形位于两个横卧的黄金矩形之间,比率为2.236:1);

(3)平面图:一个¢矩形(也即,三个横向的黄金矩形与四个正方形交错,比率为5.854:1)

  如果对横数的修改被应用于马塞公寓,那么,不但单个房间的较小的尺寸,而且三个主要的维度——整个建筑物的高度,长度和宽度——在做出相对细微的比例调整之后,也可以在模数中找到它们的位置。

五.   两种范畴自相矛盾的本质

自然主义艺术的一般看法是,艺术是自然的一面镜子,因此,就如同一面镜子一样,它在这种关系中扮演着一个完全消失的角色。艺术源于并且仅仅反映外部世界。然而,勒·柯布西耶相信人的想法和建筑活动与自然界的内在统一性,范·德·拉恩则坚持它们是相互分离的。勒·柯布西耶是无与伦比的更为伟大的艺术家,如果伟大以丰富的创造力,独特性来衡量的话,几乎他们建筑的一切都为建筑学开辟了一条新的道路。相反,范·德·拉恩则建造甚少,他有意识地反对一切面向新奇事物的努力,他并只打算成为“创造性的”,如果不是将创造性理解为“回归源流”的话。对他来说,作品愈“普通”“愈少创造性”则愈佳。因此他的例子是“规范性的”而勒·柯布西耶杂从未有如此表现,尽管后者提倡标准化和艺术类型。正如范·德·拉恩和其兄弟尼科(Nico)就他们早期的一幢建筑物所写的:“我们故意不规辟旧的形式是如此古老,以致它们永远也不可能是新的形式。”艺术家西奥多·斯特拉维斯基(Theodore Stravinsky)的评论另他们欣喜万分,前者参观了他的位于荷兰法尔斯的大教堂,声称他于一座现代建筑物中,首次体验了人们在古建筑物中的所获得的感觉。

人们期待这两种论点,恰好象它们在哲学中所得到反映那样,在有关建筑比例的文献中得到反映。然而,实际上,前种观点的优势地位已经在事实上排除了后一种观点的存在。即使在今天,经验式思维的建筑物倾向于完全拒绝数学方法的使用,然而比例论的拥护者,如勒·柯布西耶,几乎比无一例外地属于移情的传统。对这一规则指导议的著名人物范·德·拉恩(van der laan),提出了明确的经验比例论的建筑学家。他邪道:“我们理解完全基于我们的感觉的话,那么理性知识就不可能存在。”他声称,他所发现的比例理论——塑性数,不是源自自然并用之于建筑的,而是相反,是呈现于建筑学中,并且加之于自然的,他完全拒绝勒柯布西耶的自然主义的决定论:

房子的形状……并非如同鸟巢一般,由自然所决定……作为形成原理的人之智力,不管在何处介入,马上句会破坏自然诸形成的同质世界。

六. 总结

本文可能被错误地解释为牺牲勒·柯布西耶来推崇范·德·拉恩。我并无此意,自然,公平竞争感(或者伤害感)会使得人们想去推翻偶像和帮助其他人免受不应有的愚弄之苦。但是,这两个人在大多数方面的明显对立,他们的说服力存在于如此不同的领域,使得吹捧一方而贬低另一方的做法荒谬无比。然而,就本文而言,勒·柯布西耶和范·德·拉恩之间真正的差异与其说在于他们成就的相应价值,不如说在于他们所代表的相互对立的哲学流派。威特科尔断定,大约在1700年左右,科学与艺术之间,理性与创造性之间的联系不可避免地被切断了。如果他是正确的,则建筑比例的实践在那时就陷入绝境。勒·柯布西耶完全忽视这种断裂,自行其是,只当它不存在。范·德·拉恩则在绝境旁边指明了一条道路,对他而言,比例是心智加之于世界的规律——一种心智的抽象物——而不是潜伏于并且来自那一世界的事物。我认为,与勒·柯布西耶相比,这就是使他成为一个更为现代的思想家的原因。自相矛盾的是,他的思想深深植根于早期希腊哲学这一事实,使得他也是一个更为古老的思想家。

今天,如同过去一样,建筑仅仅为我们的空间环境“提供测量”。它涉及的也就是我们所体验的世界(具有它所包含的一切局限)。它很少涉及空间曲率或地球曲率,就好比音乐(它为时间提供测量)很少涉及声音的速度或光从一个遥远的星系到达我们地球所花的时间。勒·柯布西耶在《模度》中有大致相同的态度。范·德·拉恩在回忆他对数学抽象概念的最初经历时,也持有大致相同的态度,则两者本质上的理念是一致的,建筑本身就是运用数学和建筑元素进行设计意图的表达。

参考文献

[1] 《模度》 勒·柯布西耶 著

[2] 《建筑空间》 范·德·拉恩 著

[3] 《比例——科学 哲学 建筑》 理查德·帕多万 著

[4] 《走向新建筑》 勒·柯布西耶 著

[5] 《塑性数》 范·德·拉恩(1960年)著
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《科学文化评论》第4卷 第6期(2007):

科学与人文



狄拉克的数学美原理



克劳





莫斯科大学有一个传统,即要求来访的著名物理学家在黑板上题词,并永久地将它保存下来。狄拉克(P. A. M. Dirac)1956年访问那里时在黑板上写道:“物理学定律必须具有数学美(A physical law must possess mathematical beauty)。”[①]这个题词概括了20世纪30年代中期以来占据了狄拉克思想的科学哲学。在现代物理学家中没有人像狄拉克那样全神贯注于美的概念。在他的著作中,我们一次又一次发现诸如美、美丽的、漂亮的,或者丑陋的、丑陋等字眼。他首次使用这类字眼是在1936年,且是以异乎寻常的方式。他那时正把丑陋而又复杂的相对论量子理论与普通的、美丽的非相对论量子理论进行对照。他的数学美的哲学毫无疑问是从量子电动力学的困难中得到了启发,而量子电动力学始终是他经常提到的、一个丑陋的物理理论的例子。

狄拉克像



自1936年首次提到美以后,狄拉克又不断发展这一思想。他在1939年作了斯科特演讲,题为“数学和物理学的关系”(The Relation between Mathematics and Physics)。在演讲中他详细阐述了在物理学中数学美的概念。他那时37岁,那个演讲标志着这位伟大物理学家对物理学的沉思,以及对数学美的密切关注。他从一般意义上比较了科学中的经验归纳方法和数学推理方法,认为在物理学中后者更为重要,因为它“能够使人们推导出尚未做过的实验的结果。”[Dirac 1939, p. 122] 然而,为什么数学推理方法能够取得如此显著的成功呢?他回答道:“这必须归因于自然界中的某种数学性质,这是观察自然界因果关系的人不会怀疑的一种性质,然而它在自然界的图式中起着重要的作用。”[Dirac 1939, p. 122]

物理学中的“数学性质”(mathematical quality)常被看作是同简单性原理(principle of simplicity)一致的。根据简单性原理,自然界的基本规律是简单的。最小作用原理或许可看作简单性原理的一个成熟的和定量的形式,和简单性原理一起享有美学地位。简单性与最小作用原理充当的不仅是有用的探索向导,而且是整个理论物理学大厦都服从的目标。最小作用原理普遍性的信仰者普朗克(Max Planck)1915年写道:最小作用原理“在物理学定律中享有最崇高的地位……[而且]似乎统治着自然界中所有可逆的过程。”[Goldberg 1976, p. 140] 普朗克认为简单性原理属于人类心理学的范畴,而不是自然界的一个客观特征。这在过去和现在都是一个相当广泛的信念。就在狄拉克发表斯科特演讲的同一年,玻恩(Max Born)就未来统一理论的前景发表了如下评论:

我们可以相信,它[普遍的公式]将具有一个极值原理(extremal principle)的形式,这不是因为自然界有这么一个愿望或者目的或者为了节约,而是因为我们思想的机制除了把规律的一个复杂的结构浓缩成一个简短的表示以外,再没有其他办法。[Born 1956, p. 77]

然而,其他科学家以更客观的方式相信像简单性这样的美学原理。根据他们的看法,自然界有趋向简单性的固有倾向,且该原理实际上的成功可简单地归因于这样一个事实:自然的规律是简单的。当然,这两层含义常常被混淆在一起,因为对自然界的数学描述常常被认为是自然界实际构造的反映。这种方法论与本体论之间的协调,曾被牛顿在他著名的哲学第一推理法则中表述过:“除去那些既真实又足以说明自然事物的原因之外,我们不再引进更多的原因。”牛顿解释道:“自然不做徒劳之事,解释多了白费口舌,言简意赅才见真谛;因为自然喜欢简单性,不会响应多余原因的奢谈。”[Newton 1729, p. 398]

狄拉克数学美的观点与牛顿的观点是一致的,与玻恩的则不一样。他坚信自然界存在着客观规律,且因为这些规律表示了自然的数学性质,因而可以通过纯粹数学方法来认知它们。

这种状况可以描述为:在数学家的游戏中,数学家自己发明规则,而在物理学家的游戏中,规则却是自然界提供的。但随着时间的流逝,这种情况就变得更明显了:数学家感到有趣的规则正好就是自然界所选择的规则。[Dirac 1939, p. 124]

然而,根据狄拉克的看法,数学和物理学的关系远远比简单性原理所提供的认识要深刻得多。他主张,尽管这个原理对于研究来说是一个有价值的工具,但现代科学已经证明它不能用于普遍的自然现象。他以引力定律作为一个例证。牛顿的理论比爱因斯坦的引力理论简单多了。然而,爱因斯坦的理论更好,更深刻,而且是一个更普遍的理论。数学美,而非简单性,是相对论的特征,是数学和物理学的关系中的核心概念。他牢记这个教训在心,并给理论物理学家以如下建议:

研究工作者在他致力于用数学形式表示自然界时,应该主要追求数学美。他还应该把简单性附属于美而加以考虑……通常的情况是,简单性的要求和美的要求是相同的,但在它们发生冲突的地方,后者更为重要。[Dirac 1939, p. 124]

对于狄拉克来说,数学美这个原理部分是方法论的原则,部分是对自然性质的一个假设。它受到了相对论,特别是广义相对论的鼓舞,还受到了量子力学发展的鼓舞。他认为,经典力学具有许多“优美的特征”,过渡到量子力学时,它们则“以更美的形式在那里重新出现”[Dirac 1939, p. 124]。

在1939年的斯科特演讲词中以及后来许多的出版物中,狄拉克声称,现代物理学的发展,只要给予正确的解释,就能表明,数学家感到真正有意思的规则和自然界所选择的规则之间存在着完美的结合。这为物理学家提供了一种“有力的新研究方法”,即:

……先选择那种人们认为将会构成新理论基础的数学分支。在作这一选择时,对数学美的考虑必定将给人们以很大的影响。……选定了数学分支之后,就应该沿着适当的路线发展它,同时去寻找一种方式,使它能够自然地显示出物理意义。[Dirac 1939, p. 125]

无论是在斯科特演讲词中,还是在随后的著作中,狄拉克从不试图给数学美的概念下一个满意的定义,他写道:“正如艺术中的美不能定义一样,数学美也是一种不能定义的性质,但研究数学的人欣赏到它通常不会有丝毫困难。”[Dirac 1939, p. 123]

这种高明的观点有点类似于彭加勒(Henri Poincaré)先前提出的观点。彭加勒也是数学美的一位坚定的拥护者,他认为科学家研究自然界的原始动力来自于自然本身就是美的。他声称,对自然界的科学研究是一件愉悦智力的工作,自然界有“内在的美,这种美来自于自然界各部分的和谐秩序,只有纯粹的理性才能够领会它。”[②]他说,这种美的思想火花“能够吸引所有特别敏感的数学家,但是外行们对它是无法理解的,他们常常只是对它一笑了之。”[③]在彭加勒的观点里,科学美与艺术上感觉到的美是大不相同的,它具有智力上的特质,而非情感上的特质。狄拉克的美的概念也许更宽泛些,它包含通常与生活中非智力方面相联系的情感因素,对于他来说,美的情感体验是生活中非智力方面的重要内容。在1979年的一次访谈中他说:“自然界提供的方程之美……给人以一种强烈的情感冲动。”[④]他在1972年的一次讲话中坦言道,他对数学美的信仰很像是一种宗教信仰。[⑤]

狄拉克的科学美学观包含一般性(generality)、普遍性(universality)、完备性(completeness)这些概念。例如,比起伽利略群来,洛伦兹群被认为更有意思,也更美,因为它更一般,伽利略群只不过是它的一个特例。尽管非相对论量子力学缺乏一般性和普遍性,但因为它是完备的,所以狄拉克也把它看作是一个美的理论。1949年他说,量子力学的统计基础是“一个丑陋的特征”;从美学角度来考虑,经典理论的精确的决定论更合意。但是,他又说,“在量子力学中有一些非常美丽的特征,它们体现在形式化的数学框架中,我认为它们足以弥补这种丑陋,因而净效果是,这个框架作为一个整体并不比经典理论更丑。”[Dirac 1979b, p. 39]

数学上的严密和公理化的结构,常常被纯粹数学家作为一个理论应有的美的特征而被强调,但它们也不包括在狄拉克的美学概念中。尽管他强调纯数学的威力,但并不认为精确方程和严格证明应当是数学物理学家首要关注的问题。他凭借经验知道,事先强调数学的严密性也许会妨碍物理思想的发展。他有过凭借直觉的、明显缺乏合理基础的数学工具而取得成功的经历,因而领会到没有什么必要去玩纯数学的形式游戏。他在1964年表明了这种态度:“我认为,未来的正确路线在于不要力求数学的严密,而是要在实际例子中去获取方法。”[Dirac 1966, p. 10]

除了“美的”(beautiful)字眼之外,另外两个美学代码也常出现在狄拉克的著述中,它们是“方便的”(convenient)和“复杂的”(complicated)。他常把美的数学与复杂的数学进行对比;如果一个物理理论,例如海森伯–泡利的量子电动力学,只能用一种非常复杂的数学方案来表示,那么就有足够的理由不信任它。根据他的观点,一个基础理论应当用简单而又直接的方式加以表述,为了达到这个目的,方便的变换和方便的符号是关键。如果这种方便的数学工具的引入与数学严密性的要求发生了冲突,他会毫不犹豫地放弃数学的严密性。玛根瑙(Henry Magenau)在1933年的一个评论中,把狄拉克对数学的使用方法与冯·诺伊曼(John von Neumann)的方法进行了对照:

狄拉克总是以令人钦佩的简单性作推理,让他每一步的推理都受物理直觉的引导,而且有时拒绝数学严密性。冯·诺伊曼在处理问题时,总是以最佳的现代数学工具装备起来,分析问题要达到最严格的逻辑完备性才满意。[Margenau 1933, p. 493]

就在同一年里,美国数学家伯克霍夫(Garrett Birkhoff)写信对肯布尔(Edwin Kemble)说,他不赞成狄拉克对数学的使用方法。伯克霍夫曾在剑桥大学聆听过狄拉克讲授量子力学课程。他对狄拉克的数学方法的评论,为数学物理学家和对物理学感兴趣的数学家之间的观点分歧,提供了一个有趣的看法:

出乎我意料的是我发现,狄拉克表述物理系统的方法只是为了形式上的方便,它不具体表达那些人们尚不完全熟悉的数学原理。……狄拉克允许自己享有很多数学上的自由。……我认为狄拉克建设性的成就可追溯到他对对称性原理的天才的观察。他已经明白,在一方面,对称性导致相等并且相反部分的抵消,从而允许我们大大简化关系,在另外一方面,对称性导致从一类事物推论到另一类事物的可能性。……然而,尽管这种方法已经导致并且还会导致大量非常有启发性的结果,我并不认为它能为建立一个新力学提供一个牢固的理论基础。我认为狄拉克的重大贡献可归因于对定性的原理有很优秀的鉴赏力,例如对称性、能量和动量的守恒、相对论不变性(例如,在洛伦兹变换下的对称性)、物理量的量级等等。他给我留下深刻印象的是,他对定量原理、逻辑上的一致性和完备性,以及对一个核心理论作系统的阐释和扩充的可能性等,至少相对而言缺乏鉴赏力。[⑥]

肯布尔同意伯克霍夫大部分的批评,在回信中他写道:

就不合理的推理而言,我已听说有一个人列出了40个或50个这种错误;然而,他的[狄拉克的]最终结果似乎经常与实验一致。对我来说,他总是十分神秘,我的意思是说,他认为每个数学公式如果恰当地理解的话都有意义。这个观点我完全不能接受,这也是我从不采纳他的方法的原因之一,其他许多物理学家也和我一样。[⑦]

狄拉克对数学严密性的宽松态度也许滋生于他早期受到的工程教育。至少他在回忆中是这么说的:

在我看来[大约在1918年],如果谁要是用近似法来工作,那么在他的工作中就有着不可容忍的丑陋,我非常想保持数学美。然而,我接受的工程教育教我容忍近似值,我还能看到,甚至以近似法为基础的理论中,有时也会有相当多的美。……我想,如果我没有接受过这种工程教育,在我后来从事的工作上就必定不会取得任何成果;因为实际上必须摆脱这种观点,即认为只应当处理那些从人们已经接受的、并且被当作绝对可信的、已知的严格定律中逻辑地推导出来的结果。[Dirac 1977, p. 112]

狄拉克多次以反纯粹主义(antipurist)的方法使用着数学,他信任自己的直觉,留给其他人来证明他的定理并以严格的形式表达他的思想。一个例子是1928年狄拉克矩阵的发明,该矩阵在几年之后被发展成旋量理论(spinor theory)。另一个例子是他于1927年引入的δ函数。他认识到,这个量不是一个普通函数,因此是以一个数学家看来非常不合规则的方式引入的。δ函数实际的、不平常的表现并没有烦扰他:“人们仍然可以实际地应用δ(x),就像它是一个普通函数一样,以达到量子力学的所有目的而不会得出错误的结果。”[⑧]在1965年他再次劝告说,物理学家不要太关注严密性,而要沿着一个更谦虚的途径,“用一个合理的实用逻辑标准来建立理论,就像工程师工作的方式那样”[⑨]。

同样因为采取这种态度,狄拉克对致力于统一所有物理学理论的数学综合表示怀疑。在他那个时代,这种后来所称的万有理论(theory of everything),被外尔、爱因斯坦、克莱因、爱丁顿和海森伯等人提出。他完全不相信任何世界公式(Weltformel)。据他个人的经验,他赞成以一个逐步完成的策略去解决物理学中的问题。逐渐改进或批判现有的理论,永远要以数学美作为向导,这就是他所赞赏的方法。他这样写道:“人们不应该试图一口吃个大胖子,应该把物理学中的困难尽可能一个一个地分开,然后再一个一个地解决。”[⑩]他觉得,他在物理学中取得的成功就是坚持这个方法的结果。在量子力学的初期,在他重建的过程中,他总是一步一步循序渐进,他把这个程序看作是整个物理理论发展的一个悦人心意的模式。

海森伯(Werner Heisenberg)回忆了1929年和狄拉克在横跨太平洋的旅行中以及在其他场合,他们俩人有关方法论的讨论:

从方法论上来讲,他的出发点都是特殊问题,而不是广泛的关系。当他描述他的探索时,我常常感觉他把科学研究看作登山运动员登山。重要的是爬过下一个三码距离。如果你坚持不懈,你就一定会到达顶峰。[Heisenberg 1971a, p. 101; Heisenberg 1968, p. 46]

海森伯更喜欢的是雄心勃勃的和革命性的方法。在20世纪60年代,他投身于一个雄心勃勃的计划,和他的合作者致力于统一的量子场论。但狄拉克对该理论是持怀疑态度的,正如他对所有类似统一方案的态度那样。他的反对意见很典型的是基于方法论和美学方面的考虑,这可以从他给海森伯的一封信中看出来:

我对你的工作反对的主要理由是,我并不认为你的基本(非线性场)方程具有足够的数学美,以致可作为物理学的一个基本方程。正确的方程,当它一旦被发现的时候,很可能包含一些新的数学门类,并将在纯粹数学家之间激发出巨大的兴趣,就像过去爱因斯坦的引力场理论那样(现在仍然是如此的)。现在的数学形式在我看来还是不适当的。[11]

狄拉克的物理学方法并不总是与他经常称赞的工程学方法一致,他对数学的态度也不总是保持在注重实效方面。他注重实效的特征风格曾经在《量子力学原理》的前言中被强调过,即认为数学在物理学中是一个最有力的工具,但“不管怎么说,数学仅仅只是一个工具而已。”[Dirac 1930, p. vi] 然而,在40年代及以后,当数学美原理如日俱增地占据了他的思想的时候,他开始认为数学的角色起着一种绝对的、形而上学的作用。把数学美与注重实效的工程学方法协调起来毕竟是很困难的,在工程学方法中数学“仅仅只是一个工具而已。”

尽管数学美的概念只是在30年代后期才正式进入狄拉克的物理学当中,但它早就孕育在他的心里。1930年他就得出结论说,理论物理学必须沿着由美的数学所确定的路线前进。促使他信奉数学美的关键因素,是他在1928年建立电子波动方程的过程中,用本质上是数学的方法导出了惊人的物理结论。在1931年引入磁单极子的论文中,他明确地表达了数学美原理的一个胚胎形式。在该文中他所声称的“取得进展的最强有力的方法”,其实就是他后来的数学美原理。我认为,在此一年之前他首次明确地提及物理学中的美。在《量子力学原理》的首页,他写道,经典电动力学“形成了一个自洽而又优美的理论,使人们不禁会认为,该理论不可能作重大的修改,否则会引起本质上的改变和美的破坏。”这还没有完,他还继续写道,由于量子力学“现在已经达到了这样一种程度,即它的形式体系可以建立在一般规律之上,尽管它还不十分完备,但就它所处理的那些问题而言,它比经典理论更为优美,也更令人满意。”[Dirac 1930, p. 1]作为满足他的美的标准的有趣的数学理论,狄拉克在1939年强调了单复变函数论 [Dirac 1939, p. 125]。他发现这个领域“格外美”,因此很可能会导致深刻的物理洞见。在量子力学中,一个量子系统的状态通常用实变量的函数来表示,实变量的范围是可观测量的本征值。他在1937年建议,实值条件应该放宽,变量应该被看作是复数,这样动力学变量的表达式就能够利用依据复变函数理论的强大数学机器来计算。如果把动力学变量作为复数来处理,它们将不再能够与一般意义上的物理可观测量相联系。他承认这将丧失对物理学的理解,但他并不把抽象程度的提高看作是一个缺点:“相反,我们会得到一些美的数学特征,在处理特定问题时,我们的数学能力也会得到很大的提高。”[Dirac 1937a, p. 48] 他展示了如何用他的新方法来对氢原子作优美的处理,不过,没有导出新的物理结果。

狄拉克偏爱复变量似乎也与他对宇宙学的兴趣有关,尽管是以间接的方式。他在1937-1938年发表的宇宙学理论很少使用数学,根本不包括复变数。该理论所诉诸的数学美,充其量也就是毕达哥拉斯原理,根据毕氏原理,自然界中的数字巧合和规则性并不是偶然的,而是自然规律秩序的表现。古老的毕氏原理求助于整数。所以,狄拉克也猜想,根据整数也许能够最终解释宇宙的秘密。

会不会所有现在的事件都与这个大数[1039]的性质相对应,或更一般地说,宇宙的全部历史与整个自然数序列的性质相对应……?这样,古代哲学家把整个自然界和整数的性质联系起来的梦想,就有可能在某一天得到实现。[Dirac 1939, p. 129]

狄拉克很可能把整数与宇宙学作如下的联系:既然宇宙的规律按假设可以用整数来表示,而对整数的研究又是优美的单复变函数论的一部分,那么,基于这些大自然数的宇宙学理论在美学上就是令人满意的,并且很可能是正确的,倘若美蕴涵着真。这个解释与他在1939年的表述是一致的:

这个发展的一个线索看起来似乎相当明显,那就是,现代数学中关于整数的研究不可避免地与单复变函数论有密切关系。我们已经看到,后者很有希望成为未来物理学的基础。这一想法的实现会使原子论同宇宙论联系起来。[Dirac 1939, p. 32]

狄拉克从来没有放弃他的数学美的观点,在他的大量的出版物当中,无论是专业的也好,还是非专业的也好,都提到了它。在1982年庆祝他80寿辰之际,他发表了一篇题为“美妙的数学”(Pretty Mathematics)的文章,这在理论物理学杂志中是个非常罕见的题目,但它典型地反映了他的个人倾向 [Dirac 1982]。显然他不仅仅为数学美而数学美。他毕竟是一位物理学家,而且坚信,数学美的方法将导致真正的物理学,导致最终能被证实的结果。他认为,实际情况一定会是这样的,因为自然恰好是按照数学美原理来构造的。他在1939年的阐述和他在26年后的阐述完全一致:“人们也许可以说,上帝是一个非常高明的数学家,在建造宇宙时用了非常高级的数学。”[12]

将美等同于真理,使得狄拉克以牺牲实验–归纳方法为代价,片面地强调数学–美学方法。在他心目中,后一种方法完全是“对实验结果亦步亦趋,先是去了解由实验者所获得的全部最新信息,然后才着手建立一个理论以解释它们。”[13]他说这是一个不足取的方法,会导致“无谓的竞争”(rat race)(尽管参与竞争的老鼠相当聪明,他还补充说)。不应该是这样的,人们应当信任自己的基本信念,不要太在意实验的结果。就基础物理学而言,他想要让实验检验从属于数学美这一诚然相当模糊的思想。他主张,“比起一个符合一些实验数据的丑陋的理论来说,一个具有数学美的理论更有可能是正确的。”[Dirac 1970, p. 29] 这是对数学美原理的一个更有争议的解释,因为这种说法不仅对发现的过程起着忠告的作用,而且介入了科学探索的核心——证明的过程。我下面会对此作些分析。

数学美原理的问题,除了它的模糊性之外,就是它有时会导致与实验证据完全相左。狄拉克当然也清楚这一点,但他坚持认为,这种矛盾是实验物理学家的问题,而不是数学美的信仰者的问题。换句话说,他主张数学美的考虑应当(有时)优先于对实验事实的考虑,而且在这种意义上可以作为真理的标准。“如果物理学的方程没有数学上的美,那么这就意味着该理论不完美、有缺陷,因此需要改进。”[14]我将要对这个狄拉克–外尔的观点谈谈我的看法,尽管狄拉克很可能想把他的名字和爱因斯坦的名字放在一起,因为他对爱因斯坦的相对论及其一般科学哲学深怀感激之情并且深信不疑。当然,在狄拉克之前,有许多科学家和哲学家都持有类似于狄拉克–外尔的观点。把上帝或者大自然看作一个数学大师,是思想史上的一个古老的主题。它可以追溯到柏拉图;在伽利略、开普勒、莱布尼兹,以及我们这个世纪的爱因斯坦、金斯(James Jeans)、米尔恩(Edwars Milne)、闵可夫斯基(Hermann Minkowski)和外尔(Hermann Weyl)等人的思想中,都起着重要作用。尽管爱因斯坦和外尔充当了狄拉克的激励者,但我们发现,在狄拉克之前很可能是闵可夫斯基最详细阐述过数学美原理。

闵可夫斯基坚信数学美的标准应该作为真理的标志。他相信“在纯数学和物理学之间存在先定的和谐。”[15]他完全被数学的力量所征服,因此把本体论的身份赋予给了数学结构。他阐述道:“数学家或许会自豪地看到,而人类其他成员或许会无限惊奇地发现,数学家纯粹是在他们的想象中创造出一个很大的天地,有朝一日最丰富的现实存在都应当用它来描写(尽管这些唯心主义者从未作此设想)。”[16]因此,闵可夫斯基的数学美学概念与彭加勒以及其他约定论者的概念不同,但同外尔和狄拉克的思想一致。需要补充的是,关于精英论,他们的观点没有多大分歧:彭加勒(和狄拉克)大概也会同意闵可夫斯基关于数学家和“人类其他成员”之间所作的区分。

闵可夫斯基最著名的学生爱因斯坦是激励狄拉克的一个重要源泉。狄拉克特别把相对论的发现看作是一个最好的例证,即伟大物理学家是怎样追随数学美的方法从而提出了革命性的观念。在他后期的著作中,作为一个优美理论的相对论是他经常写的主题。例如他在1980年这样写道:

洛伦兹变换从数学观点来看是美的;并且爱因斯坦引入了这个思想:凡是在数学上是美的,在描述基本物理学方面就很可能是有价值的。这实在是比以前任何思想都要更基本的思想。描述基本物理学理论的数学方程必须美,我认为这个思想首先应当归功于爱因斯坦而不是别人。[Dirac 1980, p. 6]

广义相对论的创立远比狭义相对论的创立更吸引狄拉克。爱因斯坦受简单性原理引导,并把它作为建立引力理论方程的先验条件,以致他不太关心那些尝试证明该理论的观测。在狄拉克看来,这就是一个理论物理学家应有的正确态度,这个态度是后代物理学家应当效尤的:

让我们来面对这样一个问题:当理论与观察之间出现了差异,而且这个差异是被公认的和被证实的。人们对它会怎样反应?爱因斯坦的反应又是怎样?那时人们应当认为这个理论基本上错了吗?我要说对最后一问的答案显然是不。凡是欣赏自然运行方式和普遍数学美之间本质上和谐的人们必然会感到,一个理论如果像爱因斯坦的理论那样优美,它必定是本质上正确的。……当爱因斯坦正在建立他的引力理论时,他并不试图去解释一些观察结果。他的整个程序就是寻找一个优美的理论,大自然会选择的那一类理论。他只受这样的要求所指引,即这个理论应该是美的和优雅的,人们可望它提供对大自然的基本描述。[Dirac 1979a, p. 17]

在赞扬超经验主义和数学直觉的队伍中,狄拉克一点也不孤独。许多杰出的物理学家都和他一样,坚信爱因斯坦引力理论是在没有经验的基础上创造出来的,并且该理论凭其美学价值必定是正确的。在所有量子理论的先驱者当中,大概唯有玻尔(Niels Bohr)和玻恩挑战这种观点。[17]

然而,在对数学美的鼓吹中,狄拉克把爱因斯坦看作是他的同道,事情真是这样的吗?我认为他实际上是不对的。他重建了现代物理学的部分历史,使它们符合他所偏爱的内容,他还省略了那些与他的偏爱有矛盾的历史。就爱因斯坦而言,他本人的态度是不明确的。的确,爱因斯坦对数学简单性和对称性所扮演的角色很着迷。基于对称性或者美学的推理的考虑,在他的科学研究中起到了重要的启发性作用,而且他也经常反对以牺牲数学论证为代价来使用经验归纳论证[18]。在1933年斯宾塞演讲中,他表达了与狄拉克的观点很一致的看法:

我们的经验已经使我们有理由相信,自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现,我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律,这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提示合适的数学概念,但是数学概念无论如何却不能从经验中推导出来。当然,经验始终是一个数学构造的物理效用的唯一判据。但是这种创造性的原理却存在于数学之中。因此,在某种意义上,我认为,像古人所梦想的,纯粹思维能够把握实在这种看法是正确的。[Einstein 1934, pp. 17-18]

然而,仅在爱因斯坦成熟以后,强调数学美的作用才是他的一个主要特征。在青年时期以及最富有创造力的时期,他对这种观点并不怎么看好,并且事实上否认美学上的考虑能带来启发式的帮助[19]。他认为,形式上的美并不能保证其有物理意义。例如,1921年他把爱丁顿(Arthur S. Eddington)的场论称为“优美的但又是没有物理意义的”,4年之后他又把自己的关于引力和电的统一理论称为“非常美的但又是可疑的”[20]。他迟至1950年还承认,最终“只有经验能够检验真理”[Einstein 1950, p. 17]。这样的论述很难与狄拉克–外尔的观点一致。

外尔或许比爱因斯坦更适于作为狄拉克哲学的典范。“我的工作总是尽力把美和真理统一起来,”外尔曾经说,“但是,当我不得不在这两者中作选择时,我通常选择的是美。”[21]在他1918年的统一场论中他采取了这个策略,利用美学的理由反对爱因斯坦的异议,爱因斯坦认为外尔的理论没有实际的物理意义。外尔毕生都沉迷于柏拉图的思想——数学性质寓于大自然的方案之中。他还利用这个思想来调和基督教的形而上学和现代科学。“大自然的数学法则是神的理智的显示,” 他在1932年声明,“世界不是混沌一片,而是一个有序和谐的整体,服从神圣的数学规律。”[Weyl 1932, p. 11 & 21] 正如在前面章节中提到的那样,狄拉克对外尔完全用数学方法来探讨物理学印象很深。他认为正是因为这样,外尔才认识到反电子和电子有同样的质量,他还称赞外尔的统一场论“其简单性和美无与伦比”。然而应该记住的是,这种赞美出自他晚年的理性认识。在20年代和30年代的初期,他对外尔的理论并未给予多少关注。

数学美原理,就像其他美学原理一样,是相当含糊的。其主要问题是美在本质上是主观的,因此不能作为指导或者评价科学的一个通用工具。至少可以这样说,很难利用理性的论据来证明美学判断的正当性。对美这一观念的分析,在文学和艺术批评中确实有着悠久的传统,包括力图赋予这个概念以客观意义的诸多尝试。美学判断的客观主义论和主观主义论已经争论了好几个世纪,也没有取得什么进展,今天的情形还是和过去一样莫衷一是[22]。除此之外,这场争论与科学美问题有多大关系也不好说。无论如何,我只能得到如下结论:科学中的美学判断植根于主观的和社会的因素。美学标准的把握部分是科学家在社会化的过程中所获得的;但科学家以及科学共同体对于如何判断某个理论的美学价值,意见分歧往往相当大。著名物理学家对于哪些理论是美的哪些是丑的看法并不一致是不足为怪的。请看看下面的阐述,它包含了狄拉克物理学哲学的核心:

在当今物理理论所经受的所有巨大变革当中,只有一座基石经受住了每场风暴的考验,并且人们能够永远抱住不放——这座基石就是这样一个假设:大自然的基本规律对应着一种美的数学理论。这就意味着一个理论建立在简单的数学概念之上,这些数学概念以优美的方式组合在一起,以致人们在与该理论打交道时觉得是一种享受。所以,当一个理论物理学家发现了这样一个理论时,人们就会对它给予极大的信赖。一旦这个理论的预言和实验的结果出现了矛盾,人们的第一反应是怀疑实验发生了错误。只有在大量的实验证明确实如此之后,人们才会接受这个理论需要修改的观点,这意味着人们必须去寻找具有更美的数学基础的理论。[Dirac 1954, p. 143]

在上段引文中,数学美原理的操作困难是明摆着的,尽管不易觉察。当“一个理论物理学家”发现了一个他认为是美的理论时,“人们就会对它给予极大的信赖”,我们确信如此。然而,这个论证预先假定了个体物理学家的数学美感以及其独特的心理素质是“人们”,即理论物理学家共同体,所共享的。狄拉克似乎已经意识到美的观念具有模糊性,但认为在理论物理学中这不是一个严重的问题。1972年,他在迈阿密大学作的题为“基本信念和基础探索”(Basic Belief and Fundamental Research)的演讲中说:

十分清楚的是,美的确依赖于一个人的文化以及绘画、文学、诗歌等各种美术对他的熏陶。……然而,数学美则大不相同。我也许可以说它是完全不同的一种美,它超越了这些个人因素。在有史以来的各个国家和各个时期它都是相同的。[23]

然而,狄拉克的主张缺乏足够的理由。无论是心理学、社会学,还是科学史的研究,都未能提供证据表明,物理学家对科学中美的本性持有一个共同的看法。

与之相反,现代物理学史却支持这样一种观点:对于哪些方程和数学结构是美的和有趣的,物理学家并未形成共识。例如,多数物理学家很可能把群论和拓扑学看作是最有趣的分支,但它们却不在狄拉克的数学美的清单之内。狄拉克和绝大多数物理学家都认为闵可夫斯基的空间观点是非常优美的;闵可夫斯基本人也把它抬高到神性的级别。然而,在它出现之初爱因斯坦并不喜欢它[24]。作为另外一个例子的是,人们可以比较一下海森伯和爱因斯坦关于量子理论的看法。至少是在他们的晚年时期,他们都持有这样一种观点:凡是正确的理论都是简单的和美的。然而,在对于特定理论和方法的具体判断上,他们之间却存在着严重分歧[25]。

科学中美学判据的主观性的另外一个例子,是由狄拉克和伽莫夫(George Gamow)关于宇宙学的讨论所提供的。伽莫夫与狄拉克一样,信仰科学美的价值。在1967年他写道:“(我)赞同狄拉克的这样一个信念:如果一个理论是优美的,那么它一定是正确的。”[Gamow 1967, p. 192] 然而,由于伽莫夫的美的观念和狄拉克不同,所以,这两位物理学家在某些具体事例中,就如何进行美学判断意见不一。伽莫夫1967年在给狄拉克的信中说:“尽管我自认为是一位理论家,但我在心中是非常尊重观察和实验的。”[26]按狄拉克-外尔的观点,这种尊重是不应当的。狄拉克希望依据一个理论的美学性质——当然是他所设想的那些美——来判定实验的正确与否。

按照狄拉克的数学美观念,任何动力学系统应当都能够用满足相对论的哈密顿形式明确地表达出来。大多数物理学家都赏识哈密顿理论的美,而狄拉克发现它是如此地迷人,以致他倾向把它作为任何物理学基础理论都应该满足的一个要求[27]。他对哈密顿发展出一个物理学形式体系的天才留有深刻的印象,这个物理学形式体系当初并没有实际意义,唯其内在之美为人们所欣赏。在1963年于都柏林发表的拉莫尔演讲中,他对这位爱尔兰的理论家大加赞颂:“我们应当沿着哈密顿的足迹前进,把数学美作为我们的指引灯塔,去建立一些有意义的理论——首先它们得具备数学美。”[Dirac 1964, p. 59] 不过,他对哈密顿形式体系的信奉并不是没有遇到问题。据维格纳回忆,狄拉克1927年未能建立费米子的对易关系就是这种信奉的直接后果。维格纳(Eugene P. Wigner)在1963年回忆说:“狄拉克过去和现在都是哈密顿形式的俘虏,他总是根据哈密顿形式体系来考虑问题。”[28]

对物理学中哈密顿形式体系的崇拜,还表明了美学判断是如何随时间发生变化的,以及两个都被视为是美的原理是如何发生冲突的。和大多数物理学家一样,狄拉克把洛伦兹不变性视为美的享受。例如,这是他拒绝薛定谔(Erwin Schrödinger)1931年提出的理论的主要原因之一,因为在该理论中只有正能量出现。他后来回忆说,薛定谔对波动方程所做的微小改变“破坏了该理论的所有相对论性特征,该理论所有的美也随之荡然无存。”[Dirac 1978, p. 16]  1958年,他试图以精确的哈密顿形式来表述爱因斯坦的引力方程,以便给引力现象以一个简洁的描述 [Dirac 1958]。他的这个理论虽符合简单性原理,但却以牺牲4维空间对称性作为代价。因此,两条美学标准——4维空间对称性和哈密顿形式美——发生了冲突。在对待这件事情上,他给简单性以优先权:

这个结果导致我怀疑在物理学中4维空间对称性的要求是基本的。几十年前,似乎肯定的是,人们必须用4维空间形式来表达整个物理学。但如今看来,4维空间的对称性似乎不是最重要的了,因为当人们抛弃它时,对自然的描述就变得更简单了。[Dirac 1963, p. 46]

在狄拉克看来,缺乏洛伦兹不变性就意味着缺乏一种美。然而,令人惊讶的是,他在必要时甚至愿意牺牲美,以此作为保留逻辑和清晰性的代价。1931年,他在考虑选择量子电动力学的截断(cut off)时说:“我认为,一个非相对论的、丑陋的理论,也比一个违背逻辑、直接舍弃无穷大项的理论更可取。”[Dirac 1983, p. 745] 类似的美学原理之间的冲突发生于1930年,那时他试图为他的反电子寻找一个候选者。在这个案例中,他在两个美学原理之间感到十分为难,这两个原理分别是自然的统一性和数学推理的原则,不幸的是它们导致不同的答案。当他在1936年接受香克兰的实验结果,把它看作是对物理学中美的支持时,他的美感彻底欺骗了他[29]。他的美的观念,当面临物理学实际案例时,是模糊的,这不过是反映了美这个概念以及相关概念所固有的模糊性。

狄拉克-外尔观点的另外一个问题涉及怎么样严格地去遵守数学美的指导。不顾某些经验事实的反驳而大胆地信奉一个理论是一回事,而顽固地坚持这个理论并拒绝接受一切与之冲突的实验结果又是另外一回事。无论是狄拉克还是数学美的其他信奉者,都不接受一个脱离一切经验的、极端的笛卡儿哲学。狄拉克劝告人们不要管那些“丑陋的”实验结果,不过他明智地、并且多少有违初衷地给这个忠告加上了一个限制性条款——“当然,对这些事情人们不必太固执。”[30]然而,只要他没有提供何谓“太固执”的标准(当然也不可能提供这样的标准),作为研究方法之指导的狄拉克–外尔观点就相当空洞,等于什么也没说。

作为最后一个例子,让我们来讨论守恒原理,例如宇称和时间反演不变性,在物理学中扮演的角色。这些概念在经典物理学中是众所周知的,而且人们普遍认为任何基本定律必须满足宇称和时间反演不变性。这些原理有着巨大的美学价值,当维格纳在1927年和1932年把它们引进量子力学时,其美学价值更为突出 [Wigner 1928 & 1932]。鉴于这些对称性的权威性,人们常常用它们来检验物理学理论。例如,当外尔在1929年为零质量、自旋1/2的粒子提出一个波动方程时,泡利(Wolfgang Pauli)就拒绝接受这个方程,认为它“对于物理实在是不适用的”[Weyl 1929; Pauli 1933, p. 226]。泡利的否决不仅是因为自然界不存在零质量和自旋是1/2的粒子,更重要的是外尔的方程不满足宇称守恒。在他和大多数其他物理学家看来,外尔的方程在美学上是不令人满意的[31]。自然定律的对称和守恒性质这个强烈的美学信念,始终指引着泡利的研究。这个信念使他拒绝接受外尔的方程,也使他不信任支持宇称不守恒的证据。这些证据是1956-1957年间由李政道、杨振宁、吴健雄和其他人提出来的[32]。泡利对宇称守恒的坚定信念妨碍了他的科学想象力。

与大多数人相反,狄拉克并不钟情于守恒原理,他的美感与泡利不同。在早期的工作中,他只有一次讨论过守恒,而且是以一种非正统的方式。在1937年一篇鲜为人知的论文中,他提出了由维格纳先前引入到量子力学中的时间(或者运动)反演的概念 [Wigner 1932]。和维格纳一样,他利用一个反演算符,这个算符改变动量和自旋的符号但保持位置和能量不变。然而,他并不把这个算符看作是基本的,并因此引入了与经典时间反演并不对应的另一个反演算符。狄拉克的算符具有相对论性不变性,而且是同时改变了动量、自旋和能量的符号。当他把这个算符应用到他的空穴理论中时,他在一个粒子的正能态和负能态之间找到了一种完美的对称性。他写道:“任何被占据的正能态总是和一个未被占据的负能态或者空穴一起出现,两者共同代表了同一物理实在。因此,我们就得到了这样一个理论,其中以负能分布的空穴和普通的正能粒子在物理上是一回事情。”[Dirac 1937b, p. 81]

“似乎可以公正地说,在1957年之前写的关于基本粒子物理、核物理和量子力学的任何一本教科书中,都包含有对宇称守恒的叙述,”阿兰·富兰克林(Alan Franklin)在他详尽研究宇称守恒历史的著作中这样说 [Franklin 1986, p. 24]。然而,值得注意的是,狄拉克的《量子力学原理》是个例外,而且没有被富兰克林注意到。当派斯(Abraham Pais)1959年问狄拉克,他为什么不把宇称写进他的教科书时,他直截了当地回答说:“因为我不相信它。”[Pais 1986, p. 25] 他唯一一次明确地表达自己关于宇称守恒的异端观点是在1949年,那时宇称和时间反演守恒几乎被所有的物理学家认为是理所当然的。他那时写道:

这种类型的变换(非齐次洛伦兹变换)可能包括3维空间坐标系的反射和时间反射。……我不相信有任何必要使物理定律在这些反射下保持不变,尽管目前所知的所有精密的自然定律的确具有这种不变性。[Dirac 1949, p. 393]

1956年,弱相互作用中宇称不守恒被揭示出来了;1967年,在中性K介子衰变过程中时间反演不严格守恒也被发现了。上面提到的这个案例不能看作是对狄拉克–外尔观点的支持。恰恰相反,它表明了在科学中美学原理的武断性。对宇称和时间守恒的深刻美学信念,并未为狄拉克所接受,他不加论证就径直认为它不是基本的。宇称不守恒被确立之后,物理学中的美学标准也发生了变化。在这里应当提到的是,狄拉克在后来的工作中开始研究起对称不变性问题,这个问题与沿着外尔的思想路线而发展起来的1973年的宇宙学理论相关。不过,这是宇宙学和广义相对论框架中的问题,与量子理论中的C、P、T不变性没有直接关联。

如果要对数学美原理的科学价值在狄拉克职业生涯中所起的作用下一个结论的话,我觉得可以作如下概括。他的许多最重要的结果都是他信奉数学推理能力的成果;但数学美原理,在其更精致的意义上,被证明是狄拉克事业上的一个失误。特别是,他始终坚持利用它去表述一个另类的量子电动力学,而所有这些努力,就我们所知,都以失败而告终。在狄拉克的科学生涯当中,30年代中期是一个分水岭:他的所有伟大发现都是在此之前作出的,1935年之后他鲜有大的作为。值得指出的是,仅仅是在后一阶段,数学美原理才支配着他的思维。



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译者附言:杨振宁教授在2001年中央电视台《百家讲坛》的演讲中,特别提到数学和狄拉克。他说:“……狄拉克一来,这问题就明朗化了,而且他把费米的工作,玻色的工作,海森伯的工作,都一下子网罗在里头。所以我曾说,看了狄拉克的文章以后,你就有这么一个印象,觉得凡是对的东西,他都已经讲光了,你到里头再去研究,已经研究不出来东西来了。”可见杨振宁对狄拉克的评价有多么高。

谈到数学与物理学的关系,杨振宁说:“数学它的基本方向和目的,是与实际脱离关系的,为什么它在物理学的基本结构中,有这么重要的影响?这问题是常常讨论的,我想是没有答案的,只有一些玩笑的回答。金斯(J. Jeans)是20世纪初英国一个大天文物理学家,他有一个开玩笑的话说,因为上帝是一个数学家。这当然就代表说是没有解释。”

这里将克劳(Helge Kraph)所著的《狄拉克科学传记》(Dirac——A Scientific Biography, Cambridge University Press, 1992)最后一章译出,原题目为The Principle of Mathematical Beauty。相信对于读者理解狄拉克的科学思想以及数学与物理学之间的关系具有一定的启发价值。杨建邺、肖明译。

[①] 汤川秀树1959年在那里的题词是:“大自然在本质上是简单的。”玻尔在1961年选择了他的互补原理的格言——“互斥即互补”——作为题词。参见Kedrov 1979, p. 33。

[②] 参见Poincaré 1960, p. 20。彭加勒对在科学中美学地位的考虑后来被数学家哈达马(J.Hadamard)作了进一步的阐述 [Hadamard 1954]。迄今还没有一本著作对科学中的美提供一个普遍而又令人满意的分析,不过,科学中的美的诸多方面被以下人讨论过,他们分别是柯顿 [Curtin 1980]、韦施勒 [Wechsler 1978]、亨特利 [Huntley 1970] 和钱德拉塞卡 [Chandrasekhar 1987]。

[③] 参见Poincaré 1960, p.59。继彭加勒之后,哈达马建议数学家们应当接受“那种科学美感、那种特殊的审美敏感性”的引导 [Hadamard 1954, p. 127]。

[④] 参见Dirac 1979b, p.39。比较一下英国著名数学物理学家彭罗斯的观点:“我认为,在数学中人们的美学判断非常类似于在艺术中人们的美学判断。然而在数学中,审美不仅是目的,而且还是一个手段。……假如你想找到解决一个问题的新途径,你一定会摸着石头过河,并在某种意义上去寻找令人满意的、在美学上有吸引力的答案。这样,美学就可以作为解决问题的一种手段,而不仅仅是审美目的本身。当然,它也是目的:一个真正研究数学的人主要是追求它的美!”[Penrose 1979, p. 50]这个观点似乎与狄拉克的观点很接近。

[⑤] 狄拉克1972年在迈阿密大学发表了题为“基本信念与基础研究”(Basic Beliefs and Fundamental Research)讲演,未出版发行。戴森引述过该演讲的部分内容[Dyson 1986]。

[⑥] 伯克霍夫1933年3月3日写给肯布尔的信(哥本哈根玻尔研究所量子物理学历史档案,以下简记AHQP)。

[⑦] 肯布尔1933年3月27日写给伯克霍夫的回信(AHQP)。在伯克霍夫写给肯布尔的信中,伯克霍夫已指出,狄拉克在他的著作《量子力学原理》头版的53-54页对谐振子的处理,部分是错误的。

[⑧] Dirac 1927, p. 625。亥维赛于1893年引入了δ函数的较早的一个形式。他对数学的看法比狄拉克的看法更加反纯粹主义。由于接受过工程学教育,亥维赛把数学看作是一门实验科学。

[⑨] Dirac 1965, p. 687。在与梅拉(J. Mehra)的会谈中,狄拉克说:“[我]对于数理逻辑问题,或任何形式的绝对精确,绝对的论证标准,从来就不是太感兴趣。”[Mehra and Rechenberg 1982, vol. 4, p. 12]

[⑩] Dirac 1969, p. 22。根据狄拉克的看法,克莱因5维理论的不成功其根源在于克莱因太野心勃勃了,他没有遵循循序渐进的方法。在1981年一次演讲中,狄拉克说:“好多人正在试图找到将解释所有困难的一个终极理论,也许是一个大统一理论。我则认为那是毫无希望的。构想出这样一种理论已经远远超出了人类的才智。”[Dirac 1983, p. 743]

[11] Dirac to Heisenberg, March 6, 1967,引自Brown and Rechenberg 1987, p. 148。

[12] Dirac 1963, p.53。偶尔提及上帝不应当看作是暗示任何宗教信仰。就像爱因斯坦对掷骰子上帝所表述的名言一样,狄拉克仅仅利用上帝这个字眼来代替“什么导致了大自然的规律”。他通常归诸于大自然,而非上帝。

[13] 狄拉克未发表的讲演,“基本信念与基础研究”。

[14] Dirac in conversation with Mehra, 1968 or 1969,引自Mehra 1972, p. 59。

[15] 引自Galison 1979, p. 100。

[16] Minkowski 1915, p. 927;英译文引自Galison 1979, p. 97。这篇身后发表的文章是闵可夫斯基1907年的一篇讲演的手稿。

[17] 玻恩在1943年认为,爱因斯坦的理论是“一长串经验结果的一个大综合,而不是大脑自发波动的产物”;他强调了即使是最抽象的理论中实验和归纳方法的价值[Born 1943, p. 14]。不过,玻恩并非对爱因斯坦理论的智力奇迹无动于衷。在1920年,他就赞美过它的“宏伟庄严,其思想的大胆和率直”,使世界图像“更加美丽和崇高”[Born 1924, p. 5]。钱德拉塞卡提供了许多对广义相对论的美学评价 [Chandrasekhar 1987]。

[18] 参见Rosenthal-Schneider 1949。

[19] 参见Pais 1982, pp. 325, 344。

[20] Einstein to Weyl, September 5, 1921, quoted in Hendry 1983, p.137. Einstein to Ehrenfest, August 18, 1925, quoted in Pais 1982, p. 244.

[21] 外尔与戴森的对话,钱德拉塞卡在其文章里 [Chandrasekhar 1979] 引用过。只有把“真”取义为“经验上被证实”,外尔的评论才与狄拉克-外尔观点相一致。根据狄拉克的数学美原理,真与美之间的真实冲突是难以置信的。

[22] 对于该主题的简洁综述,参见Merriell 1981。

[23] 狄拉克未发表的演讲“基本信念与基础研究”。

[24] 参见Pyenson 1977。

[25] 参见黑伦(P. A. Heelan)的文章。黑伦考察了海森伯的美学观,并得出结论:“分歧的事实并不意味着不存在标准,只是意味着在科学中如同在艺术中一样存在着不同的敏感性和不同的‘审美’方式。这种标准属于理论科学合理性之可能性的先验(或非客观)条件。”[Heelan 1975, p. 130]。海森伯在1971年一篇文章中赞扬了美在科学中的作用 [Heisenberg 1971]。

[26] Gamow to Dirac, October 15, 1967(美国华盛顿国会图书馆手稿部)。

[27] 狄拉克认识到,拉格朗日形式对于解决某些问题也许更优越。参见Dirac 1933。

[28] 库恩对维格纳所作的访谈,Interview with E. Wigner, December 1963, conducted by T. S. Kuhn (AHQP)。

[29] 1930年,狄拉克根据他的相对论性电子波动方程得出反粒子,这时狄拉克错误地选择了质子作为反电子;1936年他接受了香克兰的错误实验结果,认为能量只在统计上上守恒,而在基本粒子过程中并不守恒,并据此攻击“丑陋的”量子场论,这次他又错了。——译者注

[30] 狄拉克未发表的演讲“基本信念与基础研究”。

[31] 在1957年,随着宇称不守恒的发现,外尔的方程获得新生。李政道、杨振宁、朗道和萨拉姆的研究表明,中微子的确满足二分量的外尔方程。钱德拉塞卡把外尔方程迟到的胜利看作是支持狄拉克–外尔观点的一个案例;见Chandrasekhar 1979。然而,这种解释是不正确的,泡利和其他物理学家之所以拒绝外尔的理论,不是因为它缺乏实验证据,而是因为它与一个美学原理——宇称守恒——相冲突。派斯在谈到李–杨理论确立之后不久所发生的事件时,总结了这次教训:“[美学]原理再一次被证明是偏见……。”[Pais 1986, p. 533] 与之相关,值得指出的是,狄拉克1936的广义波动方程并不满足宇称不变性,这个事实最先是由汤川秀树和坂田昌一指出的;见:Dirac 1936和Yukawa and Sakata 1937。

[32] 关于宇称守恒的历史和文献,见:Franklin 1979 & 1986。
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计算美学协会
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International Society for
MATHEMATICAL AND COMPUTATIONAL AESTHETICS

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Governing Board:  Jan Beran (Germany), Corey Cerovsek (USA), John Clough (USA), Thaddeus Cowan (USA), Roy Eagleson (Canada), Athanassios Economou (USA), Martin Elvis (USA), Roberto Ferretti (France), Paul Fishwick (USA), Nathaniel Friedman (USA), John Gero (Australia), German Golitsyn (Russia), Bill Hammel (USA), Mike Holcombe (UK), Slavik Jablan (Jugoslavia), Oleg Kisljuk (Russia), Reinhard Kopiez (Germany),Vladimir Koptsik (Russia), Ramesh Krishnamurti (USA), Paul Lansky (USA), Frederic Leymarie (USA),  Arthur Loeb (USA), Jeff Long (USA), Christopher Longuet-Higgins (UK), Guerino Mazzola (Switzerland), Denes Nagy (Japan), Thomas Noll (Germany), Jean Petitot (France), Vladimir Petrov (Russia), Roland Posner (Germany), Galina Riznichencko (Russia), Dan Rockmore (USA), Ed Rothstein (USA), Antonino Saggio (Italy), Reza Sarhangi (USA), Daniel Schodek (USA), Charles Schmidt (USA), Barry Smith (USA), Vera W. de Spinadel (Argentina), George Stiny (USA), Alexander Voloshinov (Russia), Dorothy Washburn (USA),Yasunari Watanabe (Japan), Robert Wechsler (Germany), Lebbeus Woods (USA), Robert Zimmer (UK).

The computational analysis of design is now a enormous discipline involving the interaction of high-level mathematics with advanced programming technologies. All design attempts to satisfy two constraints: functionality and aesthetics. Even a discipline as functionally oriented as structural engineering, in fact, involves aesthetic control over systems of non-linear equations. Aesthetics allows for (1) productive unification of perception, reasoning, and action, (2) understandability despite complexity, (3) generalization and re-usability, (4) axiomatic economy and principled prediction. Aesthetics is a major force in each of the following areas:

Computer-Aided Design and Manufacturing, Robot Motion Design: There has been considerable convergence in mathematics across the different types of CAD (e.g., in architecture and mechanical design), as well as manufacturing by shape-sculpting technology, and robot motion design. We note that Frank Gehry's Guggenheim museum at Bilbao was possible because James Glymph imported into architecture a major program designed by the French for aerospace engineering. The reason for the converging unity is that each of the several disciplines involves analysis of spatial systems of movement, control, and shape deformation - whose natural description is Lie algebras, tensor geometry with exterior differential calculus, and algebraic geometry.

Analysis of Artistic Masterpieces.  Remarkable advances have been made in the mathematical and computational analysis of major artistic masterpieces - from the chorales of Bach, the piano sonatas of Beethoven, to the paintings of Picasso and Raphael, etc. Again, these analyses mainly involve Lie groups, Lie algebras, algebraic and differential geometry.

Scientific Theory-Building and Reasoning: It has been well-recognized that aesthetic criteria play a powerful role in determining the design of theoretical models (e.g., irreducible representations of compact Lie algebras predicted the particle systems of quantum mechanics), as well as the dynamic equations of physics (e.g., Paul Dirac declared that the design of his relativistic electron equation was determined primarily by aesthetic criteria). The problem of insight in theory-building, problem-solving, and reasoning generally has been tackled with significant advances in AI - particularly in the problem-reformulation community, which is based strongly on the aesthetic supervision of discrete algebraic systems.

Software Design: It is clear that aesthetic criteria play a major role in determining software cohesion and decomposition, e.g., module decomposition in structured programming, object decomposition in object-oriented technology. Furthermore, it is apparent that there has been a remarkable interaction between the design of software and the software of design - and that this self-referring advance is driven by the need for aesthetic structuring of systems of computational operations.

The International Society for Mathematical and Computational Aesthetics is concerned with any design object, whether it be the machine-sculpted surface of a car body, the Beethoven Hammerklavier sonata, the Feynman propagator in quantum electrodynamics, or re-usable software. We are concerned with advanced research in four directions: (1) how the design decision-flow is controlled by aesthetics; (2) what structural aspects of a design object are taken to be aesthetic; (3) how aesthetic value is computed by the designer and user; and (4) how aesthetics is integrated with function in the design object.

The board members of this society are internationally known for their extensive and highly-developed research on these issues. This research includes, for example, analysis of large-scale integration in aircraft design; comprehensive analyses of symphonies and paintings; grammars for design (e.g., in architecture, structural engineering, computer programming, manufacturing); classification systems for ethnic artifacts; problem reformulation in AI; aesthetically powerful models in astrophysics; systematizations of mathematical crystallography and their application to design; cohomological unification in quantum mechanics, etc.

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Theory of Lie Groups  
李群的分析,可以对大师作品分析。
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从欧几里得到微分几何
什么是几何学
陈省身
整理:林丽明
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[转载]陈省身--什么是几何学



台湾大学的这次演讲在笔者看到过的陈先生的讲座中是最好的。遗憾的是从网上找来的这篇文章没有插图,这影响了文章的魅力。建议大家找来《陈省身文集》好好研读一番。



   今天授奖的仪式很隆重,听了许多人的演讲,我非常感动。有机会在此演讲,自己觉得非常荣幸,也非常高兴。我想从现在起,我们就像平常上课一样,不怎么严肃,随便一点。我带了一些材料,非常遗憾的是没法投影。不投影也可以,我没有什么准备。大家希望我讲一点几何学,题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作,但是很抱歉的一点是,当你们听完演讲后,不会得到很简单的答案,因为这是一门广泛而伟大的学问。在最近几千年来,几何学有非常重要的发展,跟许多其它的科学不但有关系、有作用,而且是基本的因素。



   讲到几何学,我们第一个想到的是欧几里德。除了基督教的《圣经》之外,欧几里德的《几何原本》在世界出版物中大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译,译者是徐光启与利玛窦。徐光启(1562~1633)是中国了不得的学问家,利玛窦(M.RICCI)是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章,中文本是在1607年出版的。我们现在通用的许多名词,例如并行线、三角形、圆周等这类名词我想都是徐光启翻译的。当时没有把全书翻译完,差不多只翻译了半本,另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。伟烈亚力(A.Wylie)是英国传教士。很高兴的是,李善兰是浙江海宁人。海宁是嘉兴府的一县,我是嘉兴人,所以我们是同乡(掌声)。对了,查济民先生也是海宁人(掌声)。



   推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte(1596~1650),中国人翻译成为笛卡儿。他是法国哲学家,不是专门研究数学的。他用坐标的方法,把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。我想笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的,所以他的几何谕文是他的哲学引里面最后的一个附录,附属于他的哲学的。



   这个思想当然在几何上是革命性的,因为当把几何的现象用坐标表示出来时,就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点,你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。当然并不是任何的几何问题都要变成代数问题,有时候变为代数问题后上原来的问题更加复杂了。但这个关系是基本性的。笛卡儿发现的坐标系,我们大慨在中学念解析几何都学到。有一点是这样的(我的图可惜现在没法投影出来)给定一条直线,直线上有一个原点,其它的点由它的距离X来确定,然后经过x沿一定的方向画一条直线,那么y坐标就是在那条在线从X轴上这个点所经的距离,这就是笛卡儿的坐标,英文叫Cartcsian坐标。它的两条线不一定垂直。不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了,因此x坐标与y坐标对称了。笛卡儿的两个坐标不是对称的,这是他非常重要的观念,我们现在就叫纤维丛。这些跟y坐标平行的直线都是铁维,是另外的-个空间。原因是这样的:你把它这样改了之后,那条直线就不一定要直线,可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了,有时候反而退步了(笑声)。笛卡儿用了这个坐标,就发现,我们不一定要用Cartesian坐标,可以用其它坐标,比如极坐标。平面上确定一个点,称为原点,过这点画一条射线,称为原轴。这样平面上的点,一个坐标是这点与原点的距离,另外一个是角度,是这点与原点的联机与原轴的相交的角度,这就是极坐标。因此极坐标的两个坐标,一个是正数或零,另外一个是从零到360度的角度。当然我们都知道,还可以有许多其它的坐标,只要用数就可以确定坐标。因此,后来大家弄多了的话,就对几何作出了另外一个革命性的贡献,就是说,坐标不一定要有意义。只要每级数能定义一个点,我们就把它叫坐标。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质,或者说分析的性质。这样就把几何数量化了,几何就变成形式化的东西了。这个影响非常之大,当然这个影响也不大容易被接受,比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论,特殊相对论是在1908年,而广义相对论是在1915年,前后差了7年。爱因斯坦说,为什么需要7年我才能从特殊相对论过渡到广义相对谕呢?他说因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人,他觉得没有意义的坐标不大容易被接受,所以耽误了他很多年,他才不能不接受,就是因为空间的概念被推广了。



   我忘掉了一段。我现在是讲书,请书忘掉了补充一下是无所谓的,讲错了也不要紧(笑声)。同样我回头再讲一点欧几里德。那时的欧几里德的《几何原本》并不仅仅是几何,而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分,无穷的观念虽然已经有了,不过不怎么普遍。我再说一点,就很可惜的是欧几里德的身世我们知道得很少,只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授,他的《几何原本》大概是当时的一个课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。因为亚历山大自己到过亚历山大,因此就建立了当时北非的大城,靠在地中海。但是他远在到亚洲之后,我们知道他很快就死了。之后,他的大将托勒密(PtolelmyySoter)管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问,就成立了一个大学。这个大学就在他的王宫旁边,是当时全世界伟大的大学,设备非常好,有许多书。很可惜由于宗教的原因,由于众多的原因,现在这个学校被完全毁掉了。当时的基督教就不喜叹这个学校,己经开始被毁了,然后回教人占领了北非之后,就大规地破坏,把图书馆的书都拿出来烧掉。所以现在这个学校完全不存在了。



   几何是很重要的,因为大家觉得几何就是数学。比方说,现在还有这一印象,法国的科学院,它的数学组叫做几何组。对于法国来讲,搞数学的不称数学家,而叫几何学家,这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲现在的范围更广了,就是我刚才讲到的坐标不一定有意义。一个空间可以有好几种坐标,那么怎样描述空间呢?这就显得很困难啦,因为空间到底有什么样的几何性质,这也是一个大问题。高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。高斯是德国人,我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人,也是德国教学家。他们都是哥廷根大学的教授。可惜的是黎曼活看时身体不好,有肺结核病,四十岁就死了。他们的发展有一个主要目的,就是要发展一个空间,它的坐标是局部的。空间里只有坐标,反正你不能讲坐标是什么,只知道坐标代表一个点,所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示,但是如何研究空间这就成了大问题。



   在这个之前,我刚才又忘了一个,就是基础的数学是欧几里德的书,但是欧几里德的书出了一个毛病。因为欧几里德用公理经过逻辑的手段得到结论。例如说,三角形三角之和一定等于180度,这是了不得的结果。欧几里德可以用公理几步就把它证明了,是一个结谕。这个比现代的科学简单得多了。我们刚才听了很多话,科学家做科学研究,第一样就是跟政府要钱,跟社会要钱,说你给了我钱,我才能做实验。当然实验是科学的基础。但是这样一来就会有许多的社会问题和政治问题。欧几里德说,你给我一张纸,我只要写几下,就证明了这个结果。不但如此,我是搞数学的,我说数学理论还有优点,数学的理论可以预测实验的结果。不用实验,用数学可以得到结论,然后用实验去证明。当然实验有时的证明不对,也许你的理论就不对了,那当然也有这个毛病。欧几里德的公理是非常明显的,但是他有一个有名的公里叫第五公设出了问题。这个第五公设讲起来比较长,但是简单地说,就是有一条直线与线外一点,经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的诂,觉得相当可信。可是你要严格追问的话,这个公理不大明显,至少不如其它公理这样明显。所以这个第五公设对当时数学界喜欢思想的人是个大问题。当时最理想的情形是:第五公设可以用其它的公理推得,变成一个所谓的定理。那就简单化了,并且可做这个实验。我们搞数学的人有一个简单的方法,就是我要证明这个公理,我先假定这个公理不对,看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾,就证明它是对的了。这就是所谓间接证明法。有人就想用这个方法证明第五公设,但是都失败了。我们现在知道这个第五公设并不一定对,经过一点的并行线可以有无数条,这就是非欧几何的发现。非欧几何的发现,它的社会意义很大,因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个,怎么会有两个空间,或者很多个空间呢?当时这是个很严重的社会问题。不止是社会问题,同时也是哲学问题。像德国大哲学家康德,他就觉得只能有欧氏几何,不能有非欧几何。所以当时这是一个很大的争论。非欧几何的发现一个是J.Bolyai,匈牙利人,在1832年;一个是Lobachevski,俄国人,在1847年。不过我刚才讲到大数学家高斯,我们从他的种种著作中知道他完全清楚,但他没有把它发表成一个结论,因为发表这样一个结论,是可以遭到别人反对的。因此就有这么一个争论。等到意大利的几何学家Beltrami,他在欧几里德的三维空间里造了一个曲面,刞回曲面上的几何就是非欧几何,这对于消除大家的怀疑是一很有利的工具。因为上述结果是说,假定有一个三维的欧几里德空间,就可以造出一个非欧几何的空间来,所以在欧几里德的几何中亦有非欧几何。你假定欧几里德几何,你就得接受非欧几何,因此大家对非欧几何的怀疑有种种的方法慢慢给予解除。



   我刚才讲到高斯与黎曼把坐标一般化,使坐标不一定有意义,这对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的东西。那想怎么去研究它呢?怎么知道空间有不同的性质呢?甚至怎么区别不同的空间?我这里有几个圆,画了几个不同的空间,可惜我没法把它投影出来。不过,总而言之空间的个数是无穷的,有很多很多不同的空间。现在对于研究几何的人就产生一个基本问题,你怎橡去研究它。这样一个基本的学问现在就叫Topology,拓朴学。它是研究整个空间的性质,如什应叫空间的连续性,怎样的两个空间在某个意义上是相同的,等等。这样就发展了许多许多的工具。这个问题也讨论了。黎曼生活在1826~1866年。德国的教学制度在博士毕业之后,为了有资格在大学教书,一定要做一个公开演讲,这个公开的演讲就是所谓的Habilitationschrift.黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授,做了一个演讲,这个在几何上是非常基本的文献,就讨论了这些问题。如何研究这种空间呢?要研究这种空间,如果你只知道空间是随便追磨一块块拼起来的话,就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一个度量,至少你知道什么叫两点之间的距离,你怎应去处理它呢?就需要解析的工具。往往你把距离表为一个积分,用积分代表距离。黎曼的这篇1854年的论文,是非常重要的,也是几何里的一个基本文献,相当一个国家的宪法似的。爱因斯坦不知道这篇论文,花了七年的时间想方设法也要发展同样的观念,所以爱因斯坦浪费了许多时间。黎曼这篇论文引进的距离这个观念,是一个积分,在数学界一百多年来有了很大的发展。第一个重要的发展是黎曼几何应用到广义相对论,是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学,尤其要念几何学的话,黎曼几何是一个最主要的部分,这个也是从黎曼的演讲开始的。现在黎曼几何的结果多得不得了,不但是几何的基础,可能也是整个数学发展的基础。



   我刚才提到一百多年来的发展。所谓的黎曼几何实际上是黎曼的论文的一个简单的情形,是某个情形。黎曼原来的意思,广义下的意思,有个人做了重要的工作,是一个德国人Finsler。所以这部分的几何就叫Finsler几何。他在1918年在哥廷根大学写了一篇博士论文,就讲这个几何。这个几何后来发展不大多,因为大家不知道怎么办。如果这个度量的积分广了一点,对应的数学就变复杂了,不像黎曼的某个情形这样简单。黎曼这情形也不简单。黎曼普通地就写了一个ds的平方等于一个两次微分式,这个两次微分式积分一下就代表弧的长度。怎样研究这样的几何,这是需要一个像黎曼这种天才才有这个办法。黎曼就发展了他所谓的Riemannncurvatureytensor,黎曼曲率张量。你若要搞这类几何的话,就要有张量的观念。而空间的弯曲性,这个弯曲性解析表示出来也比较复杂了,就是黎曼的曲率张量。我们现在大家喜欢讲得奖。我们今天发奖,有奖金,要社会与政府对你的工作尊重。当年的时候你要搞数学的话,如果没有数学教授的位置,就没有人付你工资。一个主要的办法就是得奖金。有几个科学院它给奖金,得了奖金后你当然可以维持一段时间,因此就很高兴。不过很有意思的是我想Riemann~Christofell曲率张量是一个很伟大的发现,黎曼就到法兰西科学院申请奖金。科学院的人看不懂,就没有给他。所以诸位,今天坐在前排几位你们都是得奖人,都是得到光荣的人,我们对于你们寄予很大的期望,后面几排的大多数人没有得过奖,不过我安慰大家,没得过奖不要紧,没得过奖也可以做工作。我想我在得到学位之前,也没有得过奖。得不得到奖不是一个很重要的因素,黎曼就没有得到奖。他的Riemann~Christofell张量在法兰西的科学院申请奖没有得到。



   最近虽然在黎曼几何上有很多发展,非常了不得的发展,但是大家对于一般的情形,黎曼论文的一般情形Finsler几何,没有做很多贡献。很巧的是我在1942年曾写了一篇Finsler几何的论文,就是找能把黎曼几何的结果做到Finsler几何的情形。最近,有两位年轻的中国人,一个叫鲍大维,一个叫沈忠民,我们合写了一本关于Finsler几何的书。这本书就要在Springer~Verlag出版,属于它的GraduateyTexts数学丛书。编辑对于我们的书也很喜欢,给了我们一个很有意思的书号:200。书就在这里,我想这本书等会我会交给谷超豪教授,就把它放在复旦大学的某个图书馆里(掌声)。我们这本书有一个小小的成就,就是把近一百年来最近在黎曼几何上的发现,我们把它推广到一般的情形,即黎曼~Finsler情形。这是黎曼当年的目的。黎曼当然非常伟大,不过他对于一般的情形不是很重视,他甚至在他的文章里讲这里没有新的东西,我们就把他说的没有新的东西做了一些出来。



   我知道我旁边坐了两位伟大的物理学家。接下去我想班门弄斧一下,谈一下物理与几何的关系。我觉得物理学里有很多重要的工作,是物理学家要证明说物理就是几何。比方说,你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说,F=ma,F是力,m是质量,a是加速度,加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量,而力得当然是物理量。所以牛顿费了半天劲,他只是说物理就是几何(大笑,掌声)。不但如此,爱因斯坦的广义相对论也是这样。爱因斯坦的广义相对论的方程说yyy是Ricci曲率,R是scalarycurvature,即标量曲面,K是常数,是energyystressytensor,即能量~应力张量。你仔细想想,他的左边是几何量,是从黎曼度量得出来的一些曲率。所以爱因斯坦的重要方程式也就是说,几何量等于物理量(掌声)。不止是这些,我们可以一直讲下去。我们现在研究的空间叫流形,是一块块空间拼起来的。这个流形不好研究。流形上的度量,你如果要把它能够用方程写下来的话,你一定要把流形线性化,一定要有一个所谓的矢量空间,叫vectoryspace。矢量空间有一个好处,它的矢量可以相加,可以相减,它还有种种不同的乘法。所以你就可以用解析的方法处理几何的情形。那么一般的流形怎么处理呢?数学家的办法很简单,就是在流形的每一点弄一个切平面。每一点都有个矢量空间,叫切空间,跟它相切、欧几里德空间只有一个切空间。现在的空间情沉复杂了一些,每点都有一个切空间,但都是平坦空间。这个现象在几何上有一个重大的发展,就是把切空间竖起来。反正是一把矢量空间,给流形的每点一个矢量空间,不一定要是流形的切面或切空间。我们就叫它为纤维丛,或叫矢量丛,矢量空间丛。这个我想比爱因斯坦的(相对论)还要重要。Maxwell方程就是建立在一个矢量丛上。你不是要一把矢量空间吗?最好的是一把筷子,这里一维最好是复一维,complex。这把筷子每个都是复空间,它是骗人的一维,其实是二维,是复数空间。复数就有玩意儿了。现在是一把复线,你如果能有法子从这个纤维到另外一个纤维有一个我们所谓的平行性的话,你就立刻得到Maxwell方程。现代文明都靠电,控制电的方程的是Maxwell方程。现在纤维丛上有一个平行性,这个平行性的微分,等于电磁场的强度F,然后你把这个F再求它的另外一种微分(余微分)的话,就得到currentyvectorJ,即流矢量。用两个简单的式子,就把Maxwell方程写出来了。普通你要念电磁学的书的话,当然需要了解电磁的意义。我不了解。但是要了解电磁学的意义,把方程全部写出来的话,书上往往是一整页,种种的微分呀什么的讲了一大堆。其实简单地说,也就是平行性的微分是场的强度,而场的强度经过某个运算就得到它的流矢量。这就是Maxwell方程,与原来的完全一样。所以Maxwell方程就是建立在一维的纤维丛上,不过是一个复一维的纤维丛。你怎样把每个纤维维拼起来呢?我们需要群的觐念。有一个群,群里有一个运算,把一个纤维可以挪到其它一个纤维。纤维如果是一维的,即使是复一维的话,我们需要的群仍旧是可交换的群,叫做Abelygroup,杨振宁先生了不得。他可以用到一个非Abel群,也很简单,我们叫做SU(2)群。用SU(2)connection,把同样的方程式写出来,就是Yang~Mills方程,DA=F。这有不得了的重要性。我们搞几何学的人觉得有这样的关系,物理学家说你这个关系跟物理有关系,这是非常困难的,并且有基本的重要性。比方说像去年获诺贝尔奖的,我想大家都知道崔琦的名字,做理论方面的所谓Hall效应,也用到我们这些工作。我们说我们专搞曲率。你要开一个车,路如果弯得多了的话你就要慢下来,直的话你就冲,这就是曲率。曲率要是在高维就比较复杂了,不过也是一些代数,并且可以做得很巧妙。我的一个朋友,也是学生,叫Simons。我们所做的工作就是曲率,就对崔琦跟他们一群得诺贝尔奖的有好处。所以一般讲来,在房子里我们只管扫地,想把房子弄弄干净,弄弄清楚,然后有伟大的物理学家来说你们这个还有道理(大笑,掌声),这个我们也很高兴。现在几何不仅应用到物理,也应用到生物学中。讲到DNA的构造,是一个双螺线,双螺线有很多几何,许多几何学都在研究这个问题。现在许多主要的大学,念生物的人一定要念几何。现在有很多人研究大一点的compound,这是分子,是由原子配起来的。原子怎么个配法就是几何了。这些几何的观念不再是空虚的,有实际上的化学的意义。



   数学比其它科学有利的地方,是它基本上还是个人的工作。即使在僻远的地方,进步也是可能的。当然他需要几个朋友,得切磋之益。谢谢大家。

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http://www.rci.rutgers.edu/~mleyton/homepage.htm
艺术家,教授,理论学家。
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原来mit media lab 的美学计算组
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http://www.computational-aesthetics.org/
计算美学协会,开了不少会了。
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https://www.britannica.com/topic/computational-aesthetics
计算美学的定义。

Computational aesthetics, a subfield of artificial intelligence (AI) concerned with the computational assessment of beauty in domains of human creative expression such as music, visual art, poetry, and chess problems. Typically, mathematical formulas that represent aesthetic features or principles are used in conjunction with specialized algorithms and statistical techniques to provide numerical aesthetic assessments. Those assessments, ideally, can be shown to correlate well with domain-competent or expert human assessment. That can be useful, for example, when willing human assessors are difficult to find or prohibitively expensive or when there are too many objects to be evaluated. Such technology can be more reliable and consistent than human assessment, which is often subjective and prone to personal biases. Computational aesthetics may also improve understanding of human aesthetic perception.
History

Computational aesthetics can be traced as far back as 1928, when American mathematician George David Birkhoff proposed the formula M = O/C where M is the “aesthetic measure,” O is order, and C is complexity. Birkhoff applied that formula to polygons and artworks as different as vases and poetry. In the 1950s German philosopher Max Bense and, independently, French engineer Abraham Moles combined Birkhoff’s work with American engineer Claude Shannon’s information theory to come up with a scientific means of attempting to understand aesthetics. The ideas of Bense, which he called information aesthetics, and Moles were influential on some of the first computer-generated art, but some artists objected that such art and its assessment using Bense and Moles’s work was not “natural.” In the 1970s American psychologist Daniel Berlyne introduced the “new experimental aesthetics,” which was based on measuring the qualities of an object and relating them to a viewer’s aesthetic perception and nonverbal responses. Berlyne also insisted on not treating aesthetic perception in isolation from other psychological factors.
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In the early 1990s the International Society for Mathematical and Computational Aesthetics (IS-MCA) was founded, specializing in design with emphasis on functionality and aesthetics and attempting to be a bridge between science and art. By the beginning of the 21st century, computational aesthetics had become sufficiently established to sustain its own specialized conferences, workshops, and special issues of journals. Computational aesthetics attracts researchers from diverse backgrounds, particularly AI and computer graphics.
Applications

Computational aesthetics has been applied in a number of different fields for various purposes. For example, it has been used to automatically assess aesthetics in photographs (and thus improve the quality of photos taken by amateurs), to distinguish between videos shot by professionals and by amateurs, and to aid in vehicle design. In some cases, computational aesthetic systems have also been used to aid human judges. The final verdict in delicate aesthetic assessments, however, is usually left to a human or a panel of human experts.

Ultimately, the goal of computational aesthetics is the development of fully independent systems that have (or even exceed) the same aesthetic “sensitivity” and objectivity as human experts. Ideally, those systems should be able to explain their evaluations, challenge humans with new ideas, and generate new art that could lie beyond typical human imagination. Nevertheless, it is difficult to ascertain using present technology, from the standpoint of psychology and neuroscience, whether a system that performs on the same level as a human expert is actually using similar mechanisms as the human brain and, therefore, whether it reveals something about human intelligence. A notable objection to the field among philosophers of aesthetics is that computer scientists can never prove what is or is not “truly” aesthetic.
Related fields

Computational aesthetics is usually classified as a subfield or branch of AI. However, computational aesthetics research is also of interest to mathematicians, engineers, psychologists, and even philosophers. A perhaps more closely related field is computational creativity (also a branch of AI), which addresses the issue of creativity exhibited by machines. Aesthetics, being an aspect through which creativity is manifested and can be assessed, therefore sometimes comes into play and blurs the distinction. In principle, computational creativity research need not necessarily involve the generation or assessment of aesthetics. Neither computational aesthetics nor computational creativity should necessarily be associated with the field of artificial consciousness (another branch of AI), because it has been demonstrated that machines need not be conscious (like humans) in order to evaluate aesthetics or exhibit creativity.
Azlan Iqbal
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computational creativity
创造性计算的领域,也很有意思。
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http://natureofcode.com/book/
开源的书,代码的本质
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无意中google到的:
http://www.cove.org/ba_presentation/

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